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                                            哈工大概率論2012年秋季學期期末考題及答案 - 下載本文

                                            哈工大 2012年 秋季學期

                                            概率論與數理統計 試題

                                            一、填空題(每小題3分,共5小題,滿分15分)

                                            1.設事件A、B相互獨立,事件B、C互不相容,事件A與C不能同時發生,且

                                            P(A)?P(B)?0.5,P(C)?0.2,則事件A,B和C中僅C發生或僅C不發生的概

                                            率為__________ .

                                            2.設隨機變量X服從參數為2的指數分布, 則Y?1?e?2X的概率密度為

                                            fY(y)?______ ____.

                                            ?12?x3.設隨機變量X的概率密度為f(x)???2xe,x?0,利用契比雪夫不等式估計概率

                                            ??0, x?0P(1?X?5)?______.

                                            4.已知鋁的概率密度X~N(?,?2),測量了9次,得x?2.705,s?0.029,在置信度0.95下,?的置信區間為______ ____.

                                            5.設二維隨機變量(X,Y)服從區域G?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}上的均勻分布,令

                                            Z?min(X,Y),W?max(X,Y), 則P(Z?W?1)= .

                                            (t0.025(8)?2?3060,t0.05(8)?1?8595,t0.05(9)?1.8331,t0.025(9)?2.2622

                                            ??1.96??0.975,??1.645??0.95)

                                            二、選擇題(每小題3分,共5小題,滿分15分)

                                            (每小題給出的四個選項中,只有一個是符合題目要求的,把所選項的字母填在題后的括號內)

                                            1.設0?P(A)?1, 0?P(B)?1, P(BA)?P(B),則與上式不等價的是

                                            (A)A與B不相容. (B)P(BA)?P(BA).

                                            (C)P(AB)?P(A). (D)P(AB)?P(A). 【 】 2.設總體X服從參數為?的泊松分布,X1,X2,,Xn是來自X的樣本,X為樣本均值,

                                            則 (A)EX?11?,DX?n?2. (B)EX??,DX??n. (C)EX??n,DX??n2. (D)EX??,DX?1n?. 【 】 1

                                            ?2x, 0?x?13.設隨機變量X的概率密度為f(x)??,則P(X?EX?2DX)等于

                                            0, 其他? (A)6-829?826?426?42. (B). (C). (D). 【 】

                                            99994.如下四個函數,能作為隨機變量X概率密度函數的是

                                            x??1?0,?5?17??,x?02f(x)? (A). (B)f(x)??x?,?1?x?1. ?1?x1616?x?0??0,??0, x?1?1?e?x,x?01?x (C)f(x)?e,x?R.. (D)f(x)?? . 【 】

                                            2x?0?0,5.設X1,X2,,Xn為來自總體X~N(?,?2)的一個樣本,統計量Y?21S()2 nX?? 其中X為樣本均值,S為樣本方差,則 【 】 三、(8分)假設某段時間內來到百貨公司的顧客數服從參數為?的Poisson分布,而在百貨

                                            公司里每個顧客購買電視機的概率均為p,且顧客之間是否購買電視機相互獨立,試求A?“該段時間內百貨公司售出k臺電視機”的概率(假設每顧客至多購買一臺電視機)。

                                            (A)Y~x2(n?1)(B)Y~t(n?1)(C)Y~F(n?1,1) (D)Y~F(1,n?1).

                                            四、(8分)設隨機變量X~U?0,1?,求(1)Y?X?4X?1的概率密度

                                            2(2)XfY(y);

                                            與Y的相關系數?XY.

                                            五、(8分)設隨機變量X和Y的分布列分別為

                                            X 0 1 Y —1 0 1

                                            P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3

                                            22且P(X?Y)?1 ,求(1)二維隨機變量(X,Y)的概率分布;(2)Z?XY的概率分布;

                                            (3)X與Y的相關系數?XY

                                            .

                                            六、(12分)設隨機變量X與Y相互獨立,且分別服從正態分布N(?,?2)和

                                            N(?,2?2),其

                                            2中?為未知參數且??0. 記Z?X?Y.(1)求Z的概率密度f(z;?);(2)設

                                            2

                                            ??Z1,Z2,,Zn為來自總體Z的簡單隨機樣本, 求?的最大似然估計?;(3)證明?2是

                                            22?2的無偏估計量。

                                            七、(4分)在x軸上的一個質點可以在整個數軸的整數點上游動,記Sn為時刻n時質點的位置。若在時刻t?0時,處于初始位置為原點,即S0?0,它移動的規則:每隔單位時間,它總是收到一個外力的隨機作用,使位置發生變化,分別以概率p及概率。求質點在時q?1?p向正的或負的方向移動一個單位(直線上無限制的隨機游動)刻n時處于位置k的概率,即求P(Sn?k).

                                            3

                                            2012年概率期末答案

                                            一、 填空題:(15分)

                                            1.0.45 2.fY?y????1,0?y?11 3.. 4..5.3/4 (2.6,2.8)40,其它?二、選擇題:(15分)

                                            1A 2B 3D 4C 5C

                                            三、解:設A表示這段時間內到達百貨公司的顧客數?i?0,1,2,??

                                            i利用全概率公式:A?A0A?A1A???AkA??

                                            4)分 P?A???P?Ai?P?AAi???P?Ai?P?AAi? (P(AA?0,?0i?ki)i?0i?k????i?k??ii!e???Cikpk?1?p?i?k

                                            k??i?k??ii!?e??i!e?????p?i?kk?p?1?p??k!?i?k?!k!???1?p??i?k

                                            ??i?k?!i?k???i?k?m???p?k?e??k!m?o????p?1?p??mm!??p?k?k!?e?e??1?p???p?k??p?ek! (k?0,1,2,?) 4分

                                            四、解:

                                            (1)分布函數方法:含Y與d?fFY?y?

                                            ?y?R,FY?y??P?Y?y??PX2?4X?1?y

                                            ?? 4

                                            2?P?X?2??y?3

                                            ??又x?[0.1] ∴1??x?2??4 同樣1?y?3?4

                                            2∴?2?y?1 于是當y??2時,FY?y??0 當y?1時,FY?y??1 當?2?y?1時,FY?y??P?X?2??y?3

                                            2???P?2?y?3?X?2?y?3? ?P?2?y?3?X?1??P?1?X?2??1??2?y?3??0?y?3?1

                                            ,y?3

                                            ?0,y??2??1??∴FY?y???y?3?1,?2?y?1 fY?y???2y?3??1,y?1?0?或公式法:y?x2?4x?1↙嚴格??y??2?x?2??0,x??0.1??其反函數x?h?y??2?3?y ??2?y?1? x??h??y???,?2?y?1其它

                                            ?2?y?1

                                            1 4分

                                            23?y?1?從而有:fY?y??fX?h?y??h??y???23?y??0,?2?y?1,其它分

                                            (2)EY?EX?4EX?1?? (3)

                                            五、解:(?)由題設有:P(X22234, DY? 2分 345?XY?cov(X,Y)1134330??/?????1 2分

                                            41245417DXDY?Y2)?1?P(X2?Y2)?0

                                            2 而(X?0,Y??1),(X?1,Y?0)?(X?Y2)

                                            所以利用概率的非負性和保序性:P(X?0,Y??1)?0?P(X?1,Y?0) 再利用聯合分布和邊緣分布之間的關系可得聯合分布列

                                            5





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